抽样统计计算原理

前言

当我们决定做一次A/B试验时，在统计学意义上，我们是在做一次抽样统计。即抽出一小部分的样本，观测他们的表现来用于预测整体的情况。那么，做抽样统计时，我们观测指标的方式有什么不同，本篇将为您讲解抽样统计和A/B测试之间的关系，并介绍指标的计算原理。

抽样检验与 A/B 测试

抽样检验

抽样检验又称抽样检查，是从一批产品中随机抽取少量产品（样本） 进行检验，据以判断该批产品是否合格的统计方法和理论。它与全面检验不同之处，在于后者需对整批产品逐个进行检验，把其中的不合格品拣出来，而抽样检验则根据样本中的产品的检验结果来推断整批产品的质量，相比全面检验会更加省时省力。（出自百度百科）

A/B 测试

A/B测试的本质就是一种抽样检验。因为做 A/B 测试的目的是测试一个不确定的产品设计对用户产生的效果，肯定不会直接应用到全量用户身上，所以我们需要在全量用户中随机抽取一部分用户来进行试验，看他们对这个设计的反应。因为这部分用户是随机抽取的，抽样用户的偏好也能代表全量用户的偏好，所以我们可以由这部分用户的反应来推测全量的用户的反应。

抽样统计的基本指标

理解单次抽样的样本和描述样本的指标

假设1：我们从要研究的总体中随机抽取10个个体组成样本，并探究【这个样本】的性质。

这里存在3个概念：

• 总体：我们希望研究的终极对象，通常组成它的个体数量比较多，因此若要进行枚举式研究很困难。
• 样本：从要研究的总体中，抽取出来一部分的个体组成样本。样本可理解为总体的一个子集，我们期望通过样本的结果来推测总体情况。
• 个体：组成总体、样本的不可再拆分的最小单位，通常每个个体都会有自己的性质。

经过抽样之后，我们得到了一个样本（内含10个个体，即样本容量为10），每个个体的数值为：

那么我们会使用哪些指标来衡量这个样本的数值情况呢？通常会有「样本均值」「样本方差」「样本标准差」三种指标

• 样本均值：该指标是样本的平均水平，在一定程度上它也可以作为统计总体的平均水平的参考值（只要足够随机，它就具有一定的代表性）

• 样本方差：我们会使用该指标衡量各个体距离样本均值之间的波动情况（离散程度），如果方差比较大，则这些样本点互相之间的差异就比较大。

• 样本标准差：是样本方差的算数平方根，其衡量作用和方差类似。

在只做一次抽样的情况下，我们可以从这个样本（包含10个个体）中，得到一组确切的「样本均值」「样本方差」「样本标准差」值。

那么只做一回抽样会不会不太准？是的，所有人都有这个担忧，因此我们倾向于“多！抽！几！回！”。

理解多次抽样的样本和多次抽样后得到的指标

假设2：我们从要研究的总体中继续随机抽取个体组成样本，例如我们抽取10回，那么就会得到10组数值。

经过统计学家的实践总结，只要我们每回抽取的样本容量足够大（样本中的个体数量 > 30)，样本的均值就会倾向于呈现正态分布。现在，我们可以忘记掉所有的个体而专注于样本凝聚而成的均值序列，假设我们已经抽取了N回样本，并每回都计算出了样本均值，然后进入下一个假设。

假设3:我们从要研究的总体中继续随机抽取N回样本（每回都有50个个体），其中每回均值为：5.5，4.7，4.9，5，4.8，...（共N个）

我们最终又得到了一组数值，是由各组样本的均值构成的序列，针对这个序列我们可以计算出：

• 样本均值的均值：

• 样本均值的方差：

• 样本均值的标准误差：

最终我们将所有的均值放在一张图上，会发现他们将呈现正态分布的倾向（足够多个均值），而且有些「均值点」会距离「样本均值的均值」特别远，但他们的数量比较少，有些「均值点」距离「样本均值的均值」特别近，但数量比较多。那么出现在远处的概率和近处的概率分别时多少呢？

基于正态分布曲线算得的数据：

• 落在距离「样本均值的均值」1倍「样本均值的标准差」以内的概率是68.2%
• 落在距离「样本均值的均值」2倍「样本均值的标准差」以内的概率是95.4%
• 落在距离「样本均值的均值」3倍「样本均值的标准差」以内的概率是99.7%

换言之，如图所示，我们随便抽一次样本，它的均值出现在远处的概率是非常小的。因此，一旦出现了出现在远处的值，我们一般认为这个样本不是来自这个总体的样本，它们之间是有显著差异的。

当然，「认为小概率事件一定不会发生」一定是有代价的。可它虽会犯错误，现实条件下我们却有只有信和不信两种选择。若我们知道买彩票中奖的机会有80%，哪怕有可能会空手而归，代价可控的情况下我们还是会去买。那么如何科学地去做买和不买的决策，并去控制犯错误的可能性？这就是我们在 假设检验与置信区间 中会讲到的假设检验。

常见问题列表

我们做的试验期望提升交易金额，但是从数据上观测发现，交易金额的用户分布是严重左偏的（用户在金额少的区间聚集），为什么还可以使用正态分布进行检验？

答：根据3.2节的内容，虽然样本的总体是偏态的，但我们是把多次抽样得到的多个均值进行了排列，而不是个体本身的数值进行排列，因此他们在符合条件时会呈现正态分布而与总体的形态无关。